Александр Есаулов начал службу в органах внутренних дел в 1993 году в должности участкового инспектора милиции Комаричского РОВД. На протяжении 18 лет служил на различных должностях в ОВД Комаричского района.

В июле 2011 года назначен на должность заместителя начальника МО МВД России «Севский» - начальника полиции. С июля 2013 года по май 2020 года проходил службу в должности начальника отделения полиции МО МВД России «Севский».

С мая 2020 года по июнь 2021 года возглавлял МО МВД России «Навлинский». С июня 2021 года по август 2022 года возглавлял МО МВД России «Клинцовский». С 10 августа 2022 года Александр Авинерович вновь возглавляет МО МВД России «Навлинский».

За время службы в органах внутренних дел Александр Есаулов награжден медалями МВД России «За отличие в службе» 3-й, 2-й и 1-й степеней, нагрудным знаком МВД России «За отличную службу в МВД России» 2-й степени.